BAHAN AJAR

 

APPLIED MATH

Disusun Oleh

Asih Widi Harini, S.Si, MT


PRAKATA

            Alhamdulillah, saya menyambut baik diterbitkannya Bahan Ajar Applied Mathematics yang ditulis oleh Asih Widi Harini, S.Si, MT, selaku dosen pengampu mata kuliah tersebut di  Fakultas Ilmu Komputer

Bahan ajar ini hendaknya bisa digunakan sebagai acuan bagi mahasiswa maupun dosen yang bersangkutan untuk melaksanakan perkuliahan dalam setiap semesternya sehingga bisa memberikan kemudahan bagi mahasiswa untuk mengikuti kuliah maupun menelusuri lebih lanjut topik-topik yang diajarkan dalam buku-buku acuan yang duanjurkan.

Dengan tetap memperhatikan perkembangan-perkembangan yang terjadi pada dunia keteknikan, bahan ajar memerlukan penyempurnaan sehingga bisa memberikan manfaat yang optimal bagi para mahasiswa.

Akhir kata, semoga bahan ajar ini bisa lebih meningkatkan hasil proses belajar mengajar yang dilaksanakan khususnya di Fakultas Ilmu Komputer. Amin.

 

 

 

 

 

 

 

 

DAFTAR ISI

 

HALAMAN JUDUL ……………………………………………………… i

DAFTAR ISI ………………………………………………………………ii

 

BAB I : PENDAHULUAN

1.1.  Sistem Bilangan ……………………………………………       5

1.2.  Himpunan ………………………………………………….       6

1.3.  Macam-macam Fungsi ……………………………………         6

1.3.1. Fungsi Aljabar ………………………………………         6

1.3.2. Fungsi Transendental  ………………………………        7

1.3.3. Segitiga Pascal dan Binomium Newton ……………        9

1.3.4. Cara Menyajikan  Suatu Persamaan ………………          10

BAB II : Barisan Bilangan, Limit Fungsi dan Derivatif

2.1.  Barisan Bilangan …………………………………………          14

2.2.  Limit Fungsi …………………………………………… ..          15

2.3.  Kekontinuan ………………………………………………        18

2.4.  Derivatif  …………………………………………………          18

2.4.1. Rumus-rumus Derivatif ……………………………         20

2.4.2. Turunan Fungsi Komposisi atau Aturan Rantai …..           23

2.4.3. Teorema Turunan Fungsi Invers ………………….           24

2.4.4. Mendeferensialkan Fungsi Implisit ……………..           27

2.4.5. Mendeferensialkan Fungsi dengan Peubah

Lebih Dari Satu …………………………………..           29

2.4.6. Mendeferensialkan Persamaan Bentuk Parameter          29

2.4.7. Mendeferensialkan Fungsi Pangkat Fungsi ……            31

 

BAB III : TERAPAN DERIVATIF

3.1.  Fungsi Naik dan Turun …………………………………..         33

3.2.  Teorema Rumus Taylor ….…………………………….            38

3.3.  Bentuk-Bentuk Tak Tettentu ……………………………         40

 

BAB IV : INTEGRAL

4.1. Dibawa ke Bentuk I :……………….           43

4.2. Rumus Dasar Integral ……………………………………         43

4.3. Bentuk II: ………………….…………………………………         43

4.4. Dibawa ke Rumus III: ………….………………………..         45

4.5. Dibawa ke Rumus IV: ……… ………………………….          45

4.6.  Integral Parsial …………………………………………..         46

4.7.  Integral Bentuk Rasional. ……………………………….         47

4.8.  Integral Fungsi Trigonometri ……………………………         50

4.9.  Integral Fungsi Pecah Rasional dalam Sin dan Cos …….          51

4.10.Integral dengan Substitusi ………………………………         52

4.11.Substitusi Aljabar ……………………………………….          55

 

DAFTAR PUSTAKA………………………………………………                        56

 

 


I. PENDAHULUAN

 

1.1. Sistem Bilangan

           

Gambar 1.1. Skema Bilangan

 

 

1.2. Himpunan          

            Himpunan adalah kumpulan elemen-elemen yang mempunyai sifat keterikatan antara anggotanya dan yang berada dalam satu kesatuan.

Ada beberapa operasi antar himpunan,  yaitu :

1.  Union atau gabungan. A union B atau A gabungan B dapat dinyatakan sebagai AB=.

2.  Interseksi atau irisan. A interseksi B atau A irisan B dapat dinyatakan sebagai AB=.

3.  Pengurangan. A – B =

4.  Penambahan. A + B = (AB)-(AB).

5.  Perkalian. A x B =

6.  Komplemen atau Ac adalah

 

1.3. Macam-macam fungsi

- Fungsi Aljabar

 

- Fungsi Transendental

 

1.4  Segitiga Pascal dan Binomium Newton

Segitiga pascal

1

1          1

1          2          1

1          3          3          1

1          4          6          4          1

dst

Gambar 1.2. Skema Segitiga Pascal

 

                Dengan menggunakan segitiga Pascal, maka perhitungan-perhitungan di bawah ini akan lebih mudah dipahami.

(a – b)3 = 1.a3 + 3 a2b + 3ab2 + 1.b3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)4 = (a + (-b))4

= 1.a4 + 4a3 (-b) + 6a2 (-b)2 + 4a (-b)3 + 1.b4

= a4 – 4a3b + 6a2b2 – 6ab3 + b4

Dst.

Jika ditemukan persamaan berbentuk (ab)1/2, maka pemecahannya tidak dapat menggunakan segitiga Pascal. Diperlukan rumus yang lebih umum yang selain dapat dipakai untuk mencari bentuk-bentuk (ab) berpangkat bulat, juga dapat dipakai untuk menemukan penyelesaian untuk (ab) berpangkat bilangan pecah. Rumus umum yang dapat dipakai untuk menyelesaikan permasalahan di atas adalah Rumus Binomium Newton, yang akan dibahas berikut ini.

Rumus Binomium Newton

(a+b)n =

dimana

n! = 1, 2, 3,…n

sehingga

(a+b)n = an+

 

1.3.4. Cara Menyajikan  Suatu Persamaan

Ada beberapa cara penyajian suatu persamaan berdasarkan peubah-peubahnya.

1.      Bentuk Implisit:

Peubah bebas & tak bebas berada dalam satu ruas.

F (x,y) = 0

G (x,y,z) = 0

Contoh : x2 + 2y + 10 = 0

2.      Bentuk Explisit:

Peubah bebas & tak bebas dalam ruas yang berbeda.

y= f(x) ; x = f(y) ; z = f(x,y)

Contoh : y = x2 + 2x +8

3.      Bentuk Parameter:

Peubah merupakan fungsi dari suatu parameter.

x = g(j), j; parameter.

y = g(j)

z = (j)

 

 

 

Misalkan diberikan persamaan : x = 2t + t2 ; y = 5t + 10t2; z = 3t2 + 6t + 5

 

Contoh:

Sebagai Contoh diberikan suatu  persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari 1. Bagaimanakah persamaannya dalam bentuk implisit, eksplisit, dan bentuk parameter.

 

Jawab :

x2 +y2 = 1

 

Bentuk Implisit:

x2 + y2 – 1 = 0

 

Bentuk explisit:

y2 = 1- x2

y =

 

Bentuk parameter

x = cos t

t parameter

y = sin t

 

1.4. Koordinat Kutub / Polar

Sertiap titik dalam koordinat kutub dinyatakan  dengan r dan v

r = modulus yaitu jarak dari 0 ke titiknya (OP)

= argumen adalah sudut yang dibentuk oleh sumbu x positif  dengan arah berlawanan arah jarum jam dengan garis OP.

O adalah  titik kutub, sedangkan OX adalah sumbu kutub.

Hubungan koordinat Orthogonal dengan kotub Polar adalah sebagai berikut :

y = r sin , x = r cos  dan r = .

Contoh:

1.         r = 5 maka r =

5 =

25 = x2 + y2

2.      r = 3 cos V maka = 3.

r = 3.

=

x2+ y2 = 3 x

x2 – 3x + y2 = 0

+ y2 =

pusat  jari-jari =

3.      r = 4 sin V

 

x2 + y2 = 4y

x2 + y2 – 4y = 0

x2 + (y – 2)2 = 22

lingkaran pusat (0,2) jari-jari 2

BAB II

BARISAN BILANGAN , LIMIT FUNGSI

DAN DERIVATIF

 

Dalam membicarakan masalah barisan bilangan, maka setiap diberikan kata barisan, yang dimaksud adalah barisan bilangan.

 

2.1. Barisan Bilangan

Definisi:

Bila C adalah himpunan tak kosong, barisan bilangan dalam C adalah harga fungsi f dari  A ke C, dimana A adalah  bilangan asli.

Cara penyajiannya adalah {C1, C2, …, Cn} atau {Cn}, n eA atau f(n) = Cn, neA.

 

contoh:

Limit suatu barisan bilangan didefinisikan sebagai

artinya  pada setiap e>0, ada bilangan indeks no = no(e), sehingga untuk n ³ no berlaku |Cn – c| < e

 

Barisan yang berlimit disebut konvergen , sedangkan barisan yang tak berlimit disebut divergen . Nul sequence adalah suatu barisan yang limitnya nol.

contoh :

Cn =

Misal diambil e =

Dicari bilangan indeks no yang bergantung e,

Maka,

|Cn – l| < e

 

 

 

 

–   n  – 1 < – 800 dan – 800 < n+1

–   n< – 799 dan – 801<n

–   n> 799 dan n > – 801

jadi yang memenuhi

n > 799 (no = 799)

sehingga n dipenuhi adalah 800

|C800 – 1| <

 

2.2. Limit fungsi

Definisi:

L disebut limit kiri dari suatu fungsi f(x) untuk x mendekati a dari sebelah kiri atau  artinya untuk setiap e>0 dapat ditemukan (e) sedemikian sehingga untuk setiap harga  dalam interval  berlaku (f(x) – L<e).

L disebut limit kanan dari suatu fungsi f(x) untuk x mendekati a dari sebelah kanan atau  artinya untuk setiap e>0 dapat ditemukan s(e) sedemikian sehingga untuk setiap harga x dalam interval  berlaku (f(x) – L<e)

Jika

maka dikatakan f(x) mempunyai limit di x = a atau .

 

 

Gambar 2.1 Skema Limit

 

 

 

contoh:

f(x) =  atau

Nilai f(x) untuk x sama dengan satu tidak terdefinisi, karena nilai f(x) menjadi pecahan dengan penyebut bernilai nol.

f(x) = x, untuk x > 1

= x2, untuk x < 1

= 0, untuk x = 1

=1

, karena limit kiri sama dengan limit kanan maka dengan definisi di atas terbukti .

 

Teorema-teorema tentang limit:

Ada beberapa teorema-teorema penting yang tidak diberikan buktinya di sini, akan tetapi di bidang teknik penggunaannya sangat penting.

Jika diberikan   dan , maka

1.       =  f ± g

2.      , dimana k adalah suatu  konstanta.

3.      = f . g

4.

5.

6.

= f g

7.

8.

9.

10.

2.3. Kekontinuan

 

Definisi:

sebuah fungsi f dinamakan kontinu pada c, jika

jadi syarat f kontinu di c:

1.      f(c) ada (f terdefinisi di c)

2.      , berarti limit kanan sama dengan limit kiri

3.

Jika salah satu syarat tidak dipenuhi , maka f(x) diskontinu di C

2.4. Derivatif

 

Skema :

 

Gambar 2.2. Fungsi y = f(x) untuk

Mempermudah pemahaman derivative

 

 

Jika ada 2 titik : P(x,y); Q (x + Dx, y + Dy)

P dan Q berada pada fungsi y = f(x).

Garis singgung di P membentuk a dengan sumbu x.

Garis singgung di Q membentuk a + Da dengan sumbu x.

tan < QPS =  dengan  Dx  mendekati 0, dan Da mendekati 0,  koefisien arah garis singgung di P = tan a = . Jika Lim ada maka

tan a = = derivatif  pertama dari y ke x

y = f(x)  maka y + Dy = f(x + Dx)

 

atau dy = f’(x) dx

y = f(x)  maka y’ =

 

Contoh:

y =

misal u = 1 – x4

y = u1/3

 

 

Definisi

1.      Misal fungsi f terdefinisi pada selang I yang bukan suatu titik. Fungsi f dikatakan mempunyai turunan pada selang I, jika turunannya (f’) terdefinisi.

2.      Derivatif pertama dari y = f(x)  ke-x

 

= y’ = .

 

 

2.4.1.Rumus-rumus Derivatif

jika u, v, w fungsi dari x, a, b, c, n = konstan:

 

=

v ¹0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Contoh :

 

1.        f(x) = x sin x

maka

f’(x) = x cos x + 1. Sin x

= x cos x + sin x

 

2.        f(x) = 2 x3 + 3 x2 tan x, x ¹ 0, maka

f’(x) = 6×2 + 3×2. Sec2x + 6x tan x

x ¹ 0

 

3.        f(x) =

f’(x) = , x ¹ 0

 

4.        f(x) = 2x5 – 3x2 – , maka

f'(x) = 10x4 – 6x + x-2 -6x-3.

5.        f(x) = , maka

f'(x) = {(-1)(1+x)-1(1-x)}/(1+x)2.

 

Catatan :

 

 

 

 

2.4.2.Turunan Fungsi Komposisi atau Aturan Rantai

 

Komposisi fungsi:

(f o g)1 (x   ) = f’ (g(x)) . g’(x)

Aturan rantai

 

 

Contoh:

1.      f(x) =

dibentuk f(x) = (g o h) (x)

= g (h(x))

g(x) =              g(h(x)) =

h(x) = 2x2 + 3x

maka (g o h)1 (x) = g’ (h(x)) . h’(x)

h’ (x) = 4x + 3                                           f’ (x) =

g’ (x) =

cara lain

u = 2x2 + 3x                      f(x) = y = y’ =

u = 2x2 + 3x

f’ (x) =

 

2.      f(x) = sin (tan x), maka

f'(x) = {cos(tan x)}sec2x

3.      f(x) = sec  , maka

f'(x) = {sec tan }{{(-1)(1+x)-1(1-x)}/(1+x)2}

2.4.3.Teorema Turunan Fungsi Invers

 

misal y = f(x)

x’(y) =

 

teorema turunan

fungsi f (x) = xr, r rasional

f(x) = xr                       f’(x) = rxr-1

contoh :

Diberikan suatu fungsi  f(x) = = (x2 – 2x)2/3, maka

f’(x) =

=

g(x) = cos

g’(x) =  =

-

 

Contoh :

1.        f(x) =

2.        f(x) =

3.        f(x) =

4.

Jawab :

1)      f(x) = =

f’(x) =

=

=  =

 

 

2)      f(x) =

f’(x) =

 

3)      f(x) =

f’(x) =

cari  dari x3 + y2 + x2 y3=3

di (1,1)

 

di (1.1)

jika diminta untuk mencari , maka

5= – 5 , maka = –1 .

 

2.4.4.Mendeferensialkan Fungsi Implisit

Fungsi implicit adalah fungsi yang berbentuk f (x,y)= 0 atau f(x,y)=c. Maka cara mencari dy/dx dari fungsi implicit adalah sebagai berikut:

Untuk memudahkan pemahaman , maka akan langsung diberikan beberapa

 

Contoh:

1)          x2 + y2= 25 (fungsi Implisit)

 

 

 

 

2)          jika x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0

tentukan

di titik

 

  • x2 + y2 – 2x – 6y + 5 =0

2x + 2y

(2y – 6)=2 – 2x

2 (y-3) =2(1-x)

=

di (3,2)

 

 

3)          f(x,y)= x + xy2 – x sin y

(atau, x + xy2 = x sin y)

cari dan

 

2.4.5.Mendeferensialkan Fungsi dengan Peubah Lebih Dari Satu

 

Secara umum jika diketahui z adalah funsi dari u1, u2, u3, …, un, dan u1, u2, u3, …, un adalah fungsi dari x, maka

 

= derifatif parsiil pertama dari z ke u

artinya peubah lain kecuali u dianggap konstan.

 

Contoh:

z = x2+y3+x2y3

 

 

2.4.6. Mendeferensialkan Persamaan Bentuk Parameter

 

t = parameter

 

Jika                y’= maka

 

=

=

 

Contoh:

 

1)       x= 2 – t

y=t2 – 6t + 5

maka y’ =

 

= 2x+2

= 2(x+1)

 

 

2)       0<t<p

 

sin t dinyatakan dalam y

y= 1 – cos t

cos t = 1 – y                                              (sin2t + cos2t = 1)

sin t =

=

=

y’=

 

2.4.7.Mendeferensialkan Fungsi Pangkat Fungsi

 

Jika diketahui z = f(u,v)= uv, dimana u,v adalah fungsi dalam x maka dapat dicari dengan 2 cara:

1.        z = uv

ln z = ln uv

ln z = v ln u

diturunkan ke-x:

 

2.        z = uv

z =

 

 

 

contoh:

Diketahui z = xx

Cara pertama:

z = xx

ln z = ln xx

ln = x ln x

 

=xx (ln x +1)

Cara kedua:

z = xx

z =

 

 

 

BAB III

TERAPAN DERIVATIF

 

 

3.1. FUNGSI NAIK DAN TURUN

 

Definisi :

Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1 < x2 yang terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) < f(x2) .

Suatu fungsi f(x) dikatakan turun di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1 > x2 yang terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) > f(x2) .

Untuk pemudahkan pemahamannyad diberikan skema pada gambar 3.1.

 

 

Skema :

 

 

 

 

 

 

 

 

x0-h      x1         x0         x2         x0+h

 

 

 

x0-h      x1         x0         x2         x0+h

 

Gambar 3.1. Skema Fungsi Naik dan Fungsi Turun

 

Dalil :

Jika            Þ y = f (x) naik di x = x0

Þ y = f (x) turun di x = x0

Þ titik stasioner dari fungsi f tercapai

Þ maka titik (x0 , f(x0)) titik maksimum

Þ maka titik (x0 , f(x0)) titik minimum

 

Contoh :

 

Tentukan semua ekstrim relatif dari fungsi f

 

Jawab :

f (x)      = 2x4 – 4x2 + 3

f’ (x)    = 8x3 – 8x

= 8x (x2 – 1)

f” (x)   = 24x2 – 8

 

Titik stasioner tercapai jika f’’(x) = 0

f’ (x)    = 8x (x2 – 1) = 0

= 8x (x+1) (x-1) = 0

x1 = 0  ;  x2 = 1 ;  x3 = -1

f(0) = 3  ;  f(1) = 1  ;  f(-1) = 1

 

-1         0          1

 

f” (0)    = -8 < 0  maka (0, 3) titik maksimum

f” (1)    = 16 > 0  maka (1, 1) titik minimum

f” (-1)   = 16 > 0  maka (-1, 1) titik minimum

 

Sebelum mempelajari soal-soal lebih lanjut, akan diberikan terlebih dahulu teorema-teorema yang mendukung fungsi naik maupun fungsi turun.

 

Teorema Uji Keturunan Kedua untuk Kecekungan

Misal f fungsi yang mempunyai turunan kedua pada selang I (terbuka)

1.      Jika  Þ Grafik f cekung ke atas pada I

2.      Jika  Þ Grafik f cekung ke bawah pada I

 

Definisi Titik Belok (Ekstrim)

f fungsi kontinu pada selang terbuka I . Titik (, f ()) dikatakan titik belok jika dipenuhi 2 syarat berikut :

1.      Terdapat perubahan kecekungan dari grafik fungsi f disekitar x =

2.      Terdapat garis singgung pada grafik fs f di (, f ())

 

Contoh :

 

 

 

(a)    Tentukan selang f cekung ke atas dan f cekung ke bawah

(b)   Tentukan semua titik ekstrimnya

 

Jawab :

 

 

 

=

=

;         ;

+ +

- -

+ +

- -

0

 

(a)    f cekung ke atas :

 

f cekung ke bawah :

 

 

(b)   Karena f”(x) ada di dan disekitar  ada perubahan kecekungan, maka titik ekstrimnya

 

 

Teorema-teorema yang mendukung pembahasan diatas adalah:

1.      Teorema Rolle

Misalkan f memenuhi syarat :

a)      Kontinu pada selang tertutup (a, b)

b)      Mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b)

c)      f (a) = f (b)

Maka terdapat suatu  Э f’ (c) = 0

(Teorema ini menjamin adanya titik-titik pada grafik f(x) dimana f’ (x) = 0 atau garis singgung mendatar).

Skema :

f’(c) = 0

f (c)

f

 

f (a) = f (b)

 

a     c      b

Gambar 3.2. Skema Teorema Rolle.

 

2.      Teorema Nilai Rata-rata

Misalkan f memenuhi syarat :

a)      Kontinu pada selang tertutup (a, b)

b)      Mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b)

Maka terdapat suatu  sehingga

(Teorema ini menjamin adanya titik pada f yang garis singgung // dengan ruas garis yang menghubungkan titik (a, f(a)) dengan (b, f(b)).

 


Skema :

 

f’(c)

f (c)

f (b)

f (a)

a              c             b

b – a

Gambar 3.3 Skema Teorema

Nilai Rata-rata.

 

3.2.Teorema, Rumus Tayor

Misal fungsi f mempunyai turunan ke-(n+1) pada selang terbuka I yang memuat titik x dan x0 , maka f(x) dapat diuraikan dalam bentuk :

f(x) =

                 

c terletak antara x dan x0 .

Dapat ditulis :

 

Dimana :

Pn(x)    = suku banyak Taylor berderajad n

Rn(x)    =

= suku sisa uraian Taylor

 

Contoh :

Deretkan dengan R. Talyor f(x) = sin x di x0 = 0

 

 

Jawab :

f(x)             = sin x          f (0) = 0

f’(x)            = cos x         f’(0) = 1

f”(x)           = -sin x         f”(0) = 0

f3(x)            = -cos x        f3(0) = -1

f4(x)            = sin x          f4(0) = 0

f5(x)            = cos x         f5(0) = 1

 

f(x) =

=

=

 

Deret Taylor dimana x0 = 0 dinamakan Deret Mac Laurin.

 

 

Contoh :

Diket : f(x)=x3-9x2+15x-5

Tentukan semua titik ekstrimnya.

 

Jawab:

f'(x) = 3x2-18x+15

Stasioner jika f'(x) = 0, maka 3x2-18x+15=0 atau x2-6x+5 = 0.

Sehingga (x-5)(x-1)=0, x1 = 5, x2 = 1.

f”(x) = 6x – 18 , maka f”(5) > 0, dan f”(1) < 0.

Jadi ekstrim minimum terjadi di titik (5, 12) dan ekstrim maksimum di titik (1,-12).

 


3.3. Bentuk-bentuk Tidak Tertentu

 

Yang dinamakan bentuk-bentuk tak tertentu adalah bentuk-bentuk berikut:

 

 

 

Aturan dari de l’ Hospital :

1.      Diketahui f(x) dan g(x) kontinu dan dapat dideferensialkan sebanyak n kali disekitar x = a.

 

 

Sedang f (n) (a) dan g (n) (a) salah satu atau keduanya tidak nol, maka :

 

2.      Kecuali untuk bentuk , aturan dari de l’ hospital bisa juga dipakai untuk bentuk .

 

Sedang  f (n) (a) dan g (n) (a) salah satu atau keduanya tidak tak berhingga, maka :

 

 

 

Contoh:

1.              =

 

2.

=

=

=

=

3.

=

=

 

 

Contoh:

1.        = = =

=            = 0

2.      =

3.

=    =

 

BAB IV

I N T E G R A L

 

Integral adalah anti derivatif atau anti turunan. Rumus-rumus yang berlaku untuk derivatif tentu saja berlaku untuk integral dalam arti kebalikannya. Persoalan integral  tidak hanya menggunakan rumus-rumus dasar yang merupakan kebalikan derivatif, akan tetapi perlu teknik-teknik yang cukup rumit yang akan dibicarakan berikut ini.

 

4.1. Dibawa ke Bentuk I :

Contoh :

1.

2.

3.

4.

5.

 

4.2. Rumus dasar Integral:

 

Contoh :

 

 

4.3. Dibawa ke Bentuk II:

 

 

Catatan   :

 

Contoh :

1.

 

Sesuai bentuk

Maka :

 

2.

Dengan rumus , maka =

3.

=

4.

=

=

=

5.      (menggunakan rumus bentuk III)

 

4.4.Dibawa ke Bentuk  III:

 

 

Contoh :

1.

2.

 

 

 

4.5. Dibawa ke Bentuk IV :

=

=

=

=

 

 

 

Contoh :

1.

2.

 

 

4.6. Integral Parsial

u dan v merupakan fungsi dari x maka duv = u dv + v du.

u dv = duv – v du

 

 

Contoh :

1.          =

=

=

2.

=

=

=

 

 

 

4.7.   Integral Bentuk Rasional.

Bentuk umumnya dapat diberikan sebagai , dimana P(x) adalah numerator, sedangkan Q(x) adalah denumerator. Jika P(x) > Q(x) maka P(x) harus dibagi Q(x) terlebih dahulu. Integral dengan bentuk rasional ini terdiri dari beberapa kasus, yang masing-masing akan dibahas dibawah ini.

 

Kasus 1 :

Apabila faktor Q(x) semuanya linier dan berbeda.

Contoh  :

 

=

=

=

=

=

 

  Þ  

ß

   
   

3C

=
   

C

=
   

=

 

 

B   =

=

=

Jadi    =

=

=

 

Kasus 2 :

Jika semua akar riil dan ada yang sama.

Contoh :

 

=

x3-1                     =

x3-1                     =

                           =

 

 

=

=

 

Kasus 3 :

Jika tidak semua akar riil dan yang tidak riil semuanya berbeda.

Contoh :

Þ

=

 

Jadi :

 

Þ

 

Maka :

 

=

=

 

Kasus 4 :

Jika tidak semua akar riil dan akar yang tidak riil ada yang sama.

Contoh :

Þ

=

… dst

 

4.8.Integral Fungsi Trigonometri

1.       =

=

2.      =

=

3.

 

 

 

 

4.9. Integral Fungsi Pecah Rasional dalam Sin dan Cos

 

 

 

 

 

 

 

 

Substitusi : tan

= arc tan z

sin 2x = 2 sin x cos x

                     x       = 2 arc tan z

                              = 2 tan -1 z

                     dx     =

Sin x       =

=

Cos z      =

Cos z      =

=

 

Contoh :

=

=

 

 

4.10.      Integral dengan Substitusi

 

Kasus 1  :

Apabila memiliki bentuk

a > 0

jika u > 0

jika u < 0

Þ

Jadi     =

=

= a . cos

 

 

Kasus 2  :

Apabila memiliki bentuk

a > 0

Þ

jika u > 0

jika u < 0

 

=

=

=

=

 

Kasus 3  :

Apabila memiliki bentuk

jika u > a

jika u < -a

u =

=

=

=

 

 

 

Contoh-contoh Kasus

:

1.

Substitusi              :

Þ

=

=

=

=

=

 

2.

Substitusi              :

=

=

=

=

=  Þ dengan inti parsial

=

 

3.

Substitusi              :

=

=

= 3 tan q

=

=

=

=

 

 

4.11. Substitusi Aljabar

Substitusi dilakukan sedemikian sehingga bisa merubah bentuk irrasional menjadi rasional.

Contoh     :

Substitusi  :         =

=

=

=

Maka :

=               =

=       =

=        =

=

=

=

 

DAFTAR PUSTAKA

 

Leithold, L ., 1972, The Calculus with Analitic Geometry, Harper International Edition, Harper and Row, Publishers, New York, Hagerstown, San Francisco, London.

 

Martono, K., 1970, Modern Control Engineering, Prentice-Hall., Englewood Cliffs, New Jersey.

 

Kreyzig, E., 1983, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley and Sons, Inc, Canada.

 

 

 

semua bahan / materi ajar yang diperlukan dalam menyusun dan menyampaikan materi pelajaran.

SKL Matematika Kelas XII IPA Tapel 2006/2007

1. Fungsi komposisi

2. Hasil kali skalar dua vektor

3. Komposisi transformasi

4. Matriks

5. Matriks 2

6. Suku banyak dan teorema faktor

7. Suku banyak dan teorema sisa

8. Transformasi (refleksi)

9. Transformasi (translasi-rotasi-dilatasi)

10. Vektor

11. Dimensi tiga jarak (new)

12. Dimensi tiga proyeksi sudut (new)

13. Lingkaran-5 (new)

14. Logika matematika (new)

15. Peluang (new)

16. Trigonometri (new)

17. Trigonometri-2 (new)

18. Trigonometri-3 (new)

19. Trigonometri-3 (bentuk cos x + sin x) (new)

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s